Analisis Real

      A.         Aljabar Himpunan

Himpunan merupakan dasar dari matematika dan semua objek matematika serta konstruksinya akan kembali pada teori himpunan. Di dalam bab ini, kita akan membahas pengertian himpunan, notasi dan sifat-sifatnya, tetapi karena tujuan dari buku ini akan menyajikan dasar-dasar dari analisis real, maka topik tentang himpunan tidak akan dibahas secara mendetail di buku ini. Bagi pembaca yang sudah familiar dengan teori himpunan, bab ini dapat ditinggalkan.

Jika A melambangkan himpunan dan x elemen di dalam A, maka sering dituliskan dengan x Î A sebagai singkatan dari pernyataan x elemen himpunan A atau x anggota himpunan A atau himpunan A memuat elemen x. Jika x bukan elemen di dalam A, maka akan dinotasikan dengan x Ï A. Dari sebuah elemen x dan himpunan A, hanya tepat satu kemungkinan dari dua pernyataan berikut berlaku:

x Î A   atau   x Ï A.

Jika A dan B merupakan dua himpunan dan x sebuah elemen, maka terdapat 4 kemungkinan yaitu:

(1)  x Î A dan x Î B               (2)  x Î A  dan  x Ï B.

(3)  x Ï A  dan x Î B              (4)  x Ï A  dan  x Ï B

Jika setiap elemen dari A juga termuat di dalam B atau A merupakan himpunan bagian dari B, akan dituliskan dengan

A Í B              atau                 B Ê A.

Jika A Í B dan terdapat elemen di dalam B yang tidak di dalam A, dikatakan A himpunan bagian (subset) sejati dari B, dan dinotasikan dengan A Ì B.

Definisi 1.1.1 

Dua himpunan dikatakan sama jika mereka memuat elemen-elemen yang sama. Jika himpunan A dan B sama, maka dinotasikan dengan A = B.

Dengan kata lain, dua himpunan A dan B dikatakan sama jika syarat (2) dan (3) di atas tidak berlaku. Secara ekuivalen, kita harus menunjukkan bahwa A Í B dan A Ê B. Penulisan himpunan selain disajikan dengan cara mendaftar dapat juga disajikan dengan menyebutkan sifat-sifatnya, sehingga suatu himpunan sering dituliskan sebagai : {x : P(x)}

sebagai lambang untuk himpunan semua elemen x yang mempunyai sifat P, sering juga dibaca dengan ”himpunan semua x sedemikian hingga P(x)”.  Untuk memberi kejelasan terhadap semesta pembicaraan, notasi di atas sering juga ditulis dengan

                                                    {x Î S : P(x)}

untuk menuliskan himpunan bagian dari S yang mempunyai sifat P.

Contoh 1  

 (a) Jika N := {1, 2, 3, ...} melambangkan himpunan bilangan-bilangan asli maka himpunan

A = {x Î N : x² – 3x + 2 = 0}

memuat bilangan-bilangan asli yang memenuhi persamaan x² – 3x + 2 = 0.  Padahal penyelesaian persamaan kuadrat x² – 3x + 2 = 0 adalah x = 1 atau  x = 2. Dengan demikian, himpunan di atas sering dituliskan dengan cara mendaftar sebagai A = {1, 2}.

(b). Himpunan semua bilangan asli genap dapat dinotasikan dengan {2x : x Î N} atau  {y Î N: y = 2x, x Î N}.

(c). Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan

Z := {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Himpunan bilangan rasional dinosaikan dengan

Q := {m/n : m, n Î Z  dan  n ¹ 0}.

Catatan:

 Kita akan sering menggunakan simbol := dengan pengertian bahwa simbol di sebelah kiri didefinisikan dengan ekspresi pada sisi kanan.

Sekarang kita akan mengenalkan beberapa operasi pada himpunan yaitu suatu cara untuk mengkonstruksi himpunan baru berdasarkan pada himpunan-himpunan yang telah diketahui.

Definisi 1.1.2

 Jika A dan B adalah himpunan-himpunan, maka irisan (interseksi) mereka adalah himpunan semua elemen yang termuat pada himpunan A dan B. Kita akan menotasikan irisan A dan B dengan A Ç B. (lihat Gambar 1.1.1).

 

Dengan kata lain, irisan dari A dan B didefinisikan dengan

                                             A Ç B := {x : x Î A dan x Î B}

Definisi 1.1.3

 Jika A dan B adalah himpunan-himpunan, maka gabungan (union) mereka adalah himpunan semua elemen yang termuat pada himpunan A atau B atau pada A dan B. Kita akan menotasikan gabungan A dan B dengan A È B. (lihat Gambar 1.1.2).

Dengan kata lain, gabungan dari A dan B didefinisikan dengan

A È B := {x : x Î A atau x Î B}

Definisi 1.1.4 

Himpunan yang tidak mempunyai elemen dikatakan himpunan kosong (empty or void set) dan dinotasikan dengan simbol Æ atau { }. Jika A dan B tidak mempunyai elemen bersama (berarti, A Ç B = { }), maka A dan B dikatakan saling asing (disjoint) atau tidak beririsan.

Berikut ini akan diberikan beberapa sifat aljabar dari operasi-operasi yang didefinisikan  di atas.

Teorema 1.1.5

 Jika  A, B, C adalah sebarang himpunan, maka

(a). A Ç A = A    dan  A È A = A.

(b). A Ç B = B Ç A  dan  A È B = B È A.

(c). (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)   dan   (A È B) È C = A È (B È C)

(d). A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)   dan  A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).

Bukti:

Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.                                               

Definisi 1.1.6

 Jika A dan B merupakan himpunan-himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A adalah himpunan semua elemen A yang tidak termuat di dalam B. Kita akan menotasikan himpunan ini dengan A \ B  atau A – B (dibaca A minus B). (lihat Gambar 1.1.3)

Dengan kata lain,komplemen dari B relatif terhadap A didefinisikan dengan

A \ B := {x Î A : x Ï B}.

Sekarang akan disajikan Hukum De Morgan untuk tiga himpunan, formula yang lebih umum disajikan di dalam latihan.

Teorema 1.1.7

 Jika  A, B, C adalah sebarang himpunan, maka

(a)   A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)

(b)    A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C)

Bukti:

            Kita hanya akan menunjukkan sifat a), sedangkan sifat b) diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Akan ditunjukkan bahwa setiap elemen dari A\(BÈC) termuat di dalam himpunan  (A\B)Ç(A\C), dan sebaliknya.

Jika x di dalam A \ (B È C)  maka x di dalam A tetapi x tidak di B È C. Akibatnya x di A tetapi x tidak di B dan tidak di C. Berarti x Î A\B dan x Î A\C. Jadi x Î (A \ B) Ç (A \ C).

Sebaliknya, jika x Î (A \ B) Ç (A \ C), maka x Î A\B dan x Î A\C. Jadi x Î A dan x Ï A dan x Ï B. Ini berarti x Î A dan x Ï AÈB, sehingga x ÎA\(BÈC).   

Karena himpunan A \ (B È C) dan  (A \ B) Ç (A \ C) memuat elemen yang sama maka dapat disimpulkan bahwa A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C).                   

Sekarang kita definisikan hasil kali Cartesius dari dua himpunan.

Definisi 1.1.8 

Jika A dan B dua himpunan tidak kosong, maka hasil kali Cartesius dari A dan B, dinotasikan dengan A x B,  adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan a Î A dan b Î B.

Jika A = {1, 2,3} dan B = {a,b} maka himpunan A x B adalah

A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Latihan 1.1

1. Buktikan Teorema 1.1.5.

2. Buktikan bahwa A Í B jika dan hanya jika AÇB = A.

3. Buktikan Teorema 1.1.7. b).

4. Jika A Í B, tunjukkan bahwa  A = B\(B\A).

5. Tunjukkan bahwa  Æ Í A, untuk sebarang himpunan A.

6. Diberikan sebarang himpunan A dan B, tunjukkan bahwa himpunan AÇB dan A\B adalah saling asing dan tunjukkan  A = (AÇB) È (A\B)

7. Jika A dan B sebarang himpunan, tunjukkan bahwa AÇB = A\(A\B).

8. Jika {A₁, A₂, …, A_n} merupakan koleksi himpunan dan E sebarang himpunan, tunjukkan bahwa

    

9. Jika {A₁, A₂, …, A_n} merupakan koleksi himpunan dan E sebarang himpunan, tunjukkan bahwa

 

10. Jika A sebarang himpunan, B₁ dan B₂ subset dari B dengan B = B₁ÈB₂, maka tunjukkan bahwa  A x B = (A x B₁) È (A x B₂). 

B.         Fungsi

Sekarang akan didiskusikan notasi fundamental dari fungsi atau pemetaan. Dalam hal ini fungsi akan dipandang sebagai suatu jenis khusus dari suatu himpunan.

Definisi 1.2.1

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Fungsi dari A ke B adalah himpunan f dari pasangan terurut di dalam A x B dengan sifat jika (a, b) dan (a, c) elemen-elemen dari f, maka b = c. Himpunan semua elemen dari A yang merupakan komponen pertama dari anggota f dikatakan domain dari f dan dinotasikan dengan D(f).   Himpunan semua elemen dari B yang merupakan komponen kedua dari elemen f  dikatakan range dari f atau himpunan nilai dari f dan dinotasikan dengan R(f)

Jika (a, b) elemen dari fungsi f, maka sering dituliskan

b =f(a)     atau  (a, b) Î f.

Definisi 1.2.2 

Misalkan f adalah fungsi dengan domain D(f) di dalam A dan range R(f) di dalam B dan g adalah fungsi dengan domain D(g) di dalam B dan range R(g) di dalam C. Komposisi g o f adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan dengan

g o f := {(a, c) Î A x C : terdapat b Î B sehingga (a, b) Î f dan (b, c) Î g}

Perhatikan bahwa jika f dan g merupakan fungsi dan jika x Î D(f), dengan f(x) merupakan elemen dari D(g), maka domain dari fungsi komposisi gof adalah himpunan

D(gof) := {x Î D(f) : f(x) Î D(g)}.

Untuk elemen x di dalam D(gof), nilai gof di x diberikan dengan (gof)(x) := g(f(x)). Ini berarti range dari gof adalah himpunan

R(gof) := {g(f(x)) : x Î D(gof)}.

Contoh 2  

(a). Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang nilainya di bilangan real x didefinisikan sebagai

f(x) := 2x    dan   g(x) := 3x² – 1.

Karena D(g)  adalah himpunan   dari semua bilangan real dan R(f) Í D(g), domain D(gof) juga  dan gof(x) = 3(2x)² – 1 = 12x² – 1. Sebaliknya, D(fog) = Â, tetapi fog(x) = 2(3x² – 1)  = 6x² – 2.

(b). Misalkan F dan G adalah fungsi-fungsi dengan domain D(F) := {x Î Â : x ³ 0} dan D(G) := Â, sedemikian hingga nilai dari F dan G di titik x dalam domainnya adalah

F(x) := Öx    dan   G(x) := -x² – 1.

Maka D(GoF) = {x Î Â : x ³ 0} dan GoF(x) = -x – 1. Karena G(x) < 0 untuk semua x Î D(G) dan D(F) = {x Î Â : x ³ 0}, maka fungsi FoG tidak terdefinisi di sebarang titik.

Definisi 1.2.3 

Misalkan f adalah fungsi dengan domain D(f) di dalam A dan range R(f) di dalam B. Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif  jika (a, b) dan (c,b) adalah elemen di dalam f, maka a = c.

Dengan kata lain, f injektif jika dan hanya jika dua relasi f(a) = b dan f(c) = b mengakibatkan a = c. Juga dapat dikatakan, f injektif jika dan hanya jika a, c di dalam D(f) dengan a ¹ c, maka f(a) ¹ f(c).

Definisi 1.2.4

 Misalkan f adalah fungsi satu-satu dengan domain D(f) di dalam A dan range R(f) di dalam B. Jika g := {(b, a) Î B x A : (a, b) Î f} maka g adalah fungsi satu-satu dengan domain D(g) = R(f) di dalam B dan range R(g) = D(f) di dalam A. Fungsi g dikatakan fungsi invers dari f dan dinotasikan dengan f ^-1.

Jika f injektif, maka f akan memetakan elemen-elemen yang berbeda di dalam D(f) ke elemen-elemen yang berbeda di dalam R(f). Jadi, setiap elemen b di dalam R(f) merupakan peta dari elemen tunggal a di dalam D(f). Fungsi invers f^-1 memetakan elemen b ke elemen tunggal a.

Contoh 3

 Misalkan f adalah fungsi dengan domain D(F) := Â, dengan F(x) := x². Jelas bahwa F bukan merupakan fungsi satu-satu, karena pasangan (2,4) dan (-2,4) keduanya termuat di dalam F, dengan F(2) = 4 = F(-2) tetapi -2 ¹ 2. Karena F tidak satu-satu, maka F tidak mempunyai invers.

Definisi 1.2.5

Fungsi f adalah fungsi dengan domain D(f) Í A dan range R(f) Í B. Fungsi f dikatakan pada (surjective atau onto)  jika R(f) = B.

Di dalam mendefinisikan fungsi, perlu memperhatikan domain dari fungsi, karena terdapat suatu fungsi yang surjektif dalam suatu domain tertentu, tetapi tidak surjektif pada domain yang lain. Sebagi contoh, fungsi f(x) := x² surjektif dari  pada himpunan  {x Î Â : x ³ 0}, tetapi bukan fungsi surjektif dari  pada Â.

Definisi 1.2.6 

Fungsi f adalah fungsi dengan domain D(f) Í A dan range R(f) Í B. Fungsi f dikatakan bijektif jika (i) f satu-satu (injective) dan (ii) f pada (surjective).

Fungsi yang mempunyai domain himpunan bilangan asli mempunyai peranan khusus di dalam analisis real. Untuk fungsi demikian, kita mempunyai istilah khusus, yang dikenalkan sebagai berikut:

Definisi 1.2.7

Barisan pada himpunan S adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan asli dan yang rangenya termuat pada himpunan S.

Untuk barisan x : N ® S, nilai x di n  sering dinotasikan dengan x_n atau x(n). Barisannya dinotasikan dengan (x_n : n Î N) atau (x_n). Ini penting untuk membedakan barisan (x_n) dengan rangenya {x_n}. Pembahasan secara detail untuk barisan akan disampaikan di dalam Bab III.

Latihan 1.2

1.   Misalkan A := B := Â dan perhatikan subset C := {(x,y) : x² + y² = 1}  dari A x B.

Apakah C merupakan fungsi dengan domain R dan range R?

2.   Berikan contoh dua fungsi f dan g pada  ke  sedemikian hingga f ¹ g tetapi fog = gof.

3.   Buktikan bahwa jika f merupakan fungsi injektif dari A ke B, maka f^-1 := {(b,a) : (a,b) Î f} juga merupakan fungsi injektif.

4.   Misalkan f fungsi injektif. Tunjukkan bahwa f^-1of(x) = x untuk semua x di D(f) dan fof^-1(y) = y untuk semua y di R(f).

5.   Misalkan f dan g fungsi-fungsi sedemikian hingga

gof(x) = x untuk semua x di D(f)

dan

fog(y) = y untuk semua y di D(g).

Buktikan g = f^-1.

6. Tunjukkan bahwa jika f : A ® B dan E, F subset-subset dari A, maka

f(EÈF) = f(E)Èf(F)  dan  f(EÇF) Í f(E)Çf(F).

7.  Tunjukkan bahwa jika f : A ® B dan G, H subset-subset dari B, maka

f^-1(GÈH) = f^-1(G)Èf^-1(H)  dan  f^-1(GÇH) = f^-1(G)Çf^-1(H).

8. Untuk a, b Î Â dengan a < b, tentukan fungsi bijektif dari A := {x : a < x < b} pada B := {y : 0 < y < 1}.

9.  Tunjukkan bahwa jika f : A ® B dan g : B ® C dan H subset dari C, maka

(gof)^-1(H) = f^-1(g^-1(H)).

10. Misalkan f dan g adalah fungsi  dan misalkan (gof)(x) = x untuk semua x di dalam D(f). Tunjukkan bahwa f injektif dan bahwa R(f) Í D(g) dan D(f) Í R(g).

C.          Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang penting dan akan  sering digunakan di dalam buku ini. Metode ini digunakan untuk membuktikan kevalidan suatu pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli N.

Teorema 1.3.1

(Sifat Terurut Baik dari N)  Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil.

Pernyataan yang lebih detail dari sifat ini adalah sebagai berikut: Jika S adalah subset dari N dan S ¹ Æ, maka terdapat elemen m Î S sedemikian hingga m £ k untuk semua k Î S.

Teorema 1.3.2

 (Prinsip Induksi Matematika)  Jika S adalah subset dari N yang memiliki sifat-sifat:

(1).  1 Î S

(2). Jika k Î S, maka k + 1 Î S

maka  S = N.

Bukti: 

 Jika diandaikan S ¹ N, maka himpunan N\S tidak kosong, dan selanjutnya dengan Teorema 1.3.1, N\S memuat elemen terkecil. Misalkan m adalah elemen terkecil dari N \ S. Berdasarkan hipotesis (1), 1 Î S, maka m ¹ 1. Selanjutnya m > 1, sehingga m – 1 juga bilangan asli. Karena m – 1 < m dan karena m elemen terkecil dari N  sedemikian hingga m Ï S, maka m – 1 di dalam S.

Sekarang, berdasarkan hipotesis (2) untuk elemen k = m – 1 di dalam S, disimpulkan k + 1 = (m – 1) + 1 = m di dalam S. Kesimpulan ini kontradiksi dengan m bukan elemen di S. Ini berarti pengandaian salah. Yang benar S = N.            

Prinsip induksi matematika juga sering dinyatakan dengan rumusan sebagai berikut:

Untuk setiap n Î N, misalkan P(n) pernyataan yang bergantung pada n. Jika

(1’)  P(1) benar

(2’) Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar,

maka P(n) benar untuk semua n Î N.

Hubungan dengan versi sebelumnya dibuat dengan memisalkan S := {n Î N : P(n) benar}.

Contoh-contoh berikut memberikan gambaran bagaimana Prinsip Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang bergantung pada bilangan asli.

Contoh 4

 (a) Untuk setiap n Î N, jumlah n bilangan asli 

Untuk membuktikan ini misalkan S adalah himpunan semua n Î N sehingga formula di atas berlaku. Kita harus membuktikan syarat (1) dan (2) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Jika n = 1, maka diperoleh  1 = ½ .1. (1 + 1), sehingga 1 Î S. Jadi syarat (1) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Selanjutnya diasumsikan bahwa k Î S dan ditunjukkan (k + 1) Î S.  Jika k Î S

Jika kedua sisi ditambah dengan (k + 1)

Ini berarti (k + 1) Î S. Akibatnya syarat (2) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Selanjutnya dengan Prinsip Induksi Matematika, disimpulkan S = N dan formula benar untuk semua n Î N.

(b) Untuk setiap n Î N, jumlah kuadrat n bilangan asli pertama diberikan dengan

Untuk membuktikan ini misalkan S adalah himpunan semua n Î N sehingga formula di atas berlaku. Kita harus membuktikan syarat (1) dan (2) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Jika n = 1, maka diperoleh  1² = 1/6 .1.(1 + 1)(2 + 1), sehingga 1 Î S. Jadi syarat (1) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Selanjutnya diasumsikan bahwa k Î S dan ditunjukkan (k + 1) Î S.  Jika k Î S.

Ini berarti (k + 1) Î S. Akibatnya syarat (2) di dalam Teorema 1.3.2 dipenuhi. Selanjutnya dengan Prinsip Induksi Matematika, disimpulkan S = N dan formula benar untuk semua n Î N.

(c). Ketaksamaan  2ⁿ £ (n + 1)!  dapat dibuktikan dengan Prinsip Induksi Matematika sebagai berikut. Untuk n = 1, diperoleh 2¹ = 2 £ 2!.     Jadi pernyataan benar untuk  n = 1. Selanjutnya diasumsikan pernyataan benar untuk n = k, berarti berlaku

2^k £ (k + 1)

dan ditunjukkan pernyataan benar untuk n = k + 1

2^k+1 = 2. 2^k £ 2(k + 1)! £ (k + 2)(k + 1)! = (k + 2)!

Ini berarti pernyatan benar untuk n = k + 1. Dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika pertidaksamaan di atas benar untuk semua n Î N.

(d). Perhatikan pernyataan “n + 5 = n” untuk n Î N.  Jika S merupakan himpunan semua bilangan asli yang pernyataan bernilai benar, maka assumsi  k Î S menyebabkan (k + 1) Î S. Ini berarti syarat (2) dari Teorema 1.3.2 dipenuhi. Tetapi karena pernyataan bernilai salah untuk n = 1, maka syarat (1) tidak dipenuhi. Jadi pernyataan di atas tidak benar.

(e). Jika r Î Â, r ¹ 1, dan n Î N.

Bentuk ini merupakan formula untuk jumlah suku-suku dari deret geometri. Ini dapat dibuktikan dengan Prinsip Induksi Matematika. 

Untuk n = 1, diperoleh 1 + r = (1 – r²)/(1 – r), sehingga formula benar untuk n = 1.

Diassumsikan pernyataan benar untuk n = k.

Selanjutnya ditunjukkan pernyataan benar untuk n = k+1, jika kedua ruas ditambah dengan suku r^k+1 diperoleh. Jadi pernyataan benar untuk n = k+1. Ini berrati berdasarkan Prinsip Induksi Matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan benar untuk semua n Î N.

Sebetulnya pernyataan di atas dapat dibuktikan secara langsung tanpa harus menggunakan Prinsip Induksi Matematika. Jika dimisalkan  s_n := 1 + r + r² + ... + rⁿ, maka rs_n = r + r² + ... + rⁿ⁺¹, sehingga

(1 – r)s_n = s_n – rs_n = 1 – rⁿ⁺¹

Terdapat versi lain dari Prinsip Induksi Matematika yang juga sering digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk setiap n Î N.

Teorema 1.3.4

 (Prinsip Induksi Kuat)  Misalkan S adalah subset dari N sedemikian hingga 1 Î S dan jika {1, 2, 3, ..., k} Í S maka k + 1 Î S. Maka S = N.

Contoh 5

 Misalkan barisan (x_n) didefinisikan sebagai berikut: x₁ := 1, x₂ := 2, dan x_n+2 := ½ (x_n+1 + x_n) untuk n Î N. Dengan menggunakan Prinsip Induksi kuat akan ditunjukkan bahwa  1 £ x_n £ 2  untuk semua n Î N. Untuk n = 1, berlaku 1 £ x₁ £ 2. Diassumsikan pernyataan benar untuk n Î {1, 2, ..., k}, selanjutnya ditunjukkan pernyataan benar untuk n = k + 1. Perhatikan bahwa

1 £ x_k-1 £ 2

dan

1 £ x_k £ 2.

Akibatnya

2 £ (x_k + x_k-1) £ 4    atau   1 £ ½ (x_k + x_k-1) £ 2.

atau

1 £  x_k+1 £ 2.

Dengan menggunakan Prinsip Induksi Kuat dapat  disimpulkan bahwa pernyataan

1 £ x_n £ 2  benar untuk semua n Î N.

Latihan 1.3

1. Buktikan bahwa  1² – 2² + 3² - ... + (-1)ⁿ⁺¹n² = (-1)ⁿ⁺¹ n(n+1)/2, untuk semua n Î N.

2. Buktikan bahwa  n < 2ⁿ  untuk semua n Î N.

3. Buktikan bahwa 5²ⁿ -1 terbagi oleh 8 untuk semua n Î N.

4. Buktikan bahwa  n³ + (n+1)³ + (n+2)³  terbagi habis oleh 9, untuk semua n Î N.

5. Buktikan bahwa  2ⁿ < n! Untuk semua n ³ 4, n Î N.